递归
2.2 迭代与递归 - Hello 算法
递归（recursion）是一种算法策略，通过函数调用自身来解决问题。它主要包含两个阶段。
递：程序不断深入地调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到“终止条件”。
归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。
而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。
终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。
递归调用：对应“递”，函数调用自身，通常输入更小或更简化的参数。
返回结果：对应“归”，将当前递归层级的结果返回至上一层。迭代与递归可以得到相同的结果，但它们代表了两种完全不同的思考和解决问题的范式。
迭代：“自下而上”地解决问题。从最基础的步骤开始，然后不断重复或累加这些步骤，直到任务完成。
递归：“自上而下”地解决问题。将原问题分解为更小的子问题，这些子问题和原问题具有相同的形式。接下来将子问题继续分解为更小的子问题，直到基本情况时停止（基本情况的解是已知的）。
递归函数每次调用自身时，系统都会为新开启的函数分配内存，以存储局部变量、调用地址和其他信息等。这将导致两方面的结果。
函数的 ...
二叉搜索树VS小顶堆
左子树中所有节点的值<父节点的值<右子树中所有节点的值;小顶堆是父节点的值<=左/右子树中所有节点的值;
关键区别总结
性质
二叉搜索树（BST）
小顶堆（Min-Heap）
节点关系
左 < 父 < 右
父 ≤ 左子 且 父 ≤ 右子
左右子节点关系
左子节点 < 右子节点（因左 < 父 < 右）
左子节点和右子节点无明确大小关系
结构目的
快速搜索、插入、删除（O(log n)）
快速获取最小值（O(1)）
是否完全二叉树
不一定
通常实现为完全二叉树（数组存储）
图
请参考网页，尤其是邻接矩阵和邻接表定义：9.1 图 - Hello 算法
图遍历：BFS: BREADTH队列维护遍历顺序，哈希集防止重复遍历
将遍历起始顶点 startVet 加入队列，并开启循环。
在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
循环步骤 2. ，直到所有顶点被访问完毕后结束。
为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希集合 visited 来记录哪些节点已被访问。
DFS 算法“根 左 右”“左 根 右”“左 右 根”分别对应前序（Preorder）、中序（Inorder）、后序（Postorder）遍历，记忆：都是左先右后，只是根的位置，依次是前、中、后，因此说的是根的顺序
字符编码
ASCII: A：65，a:97
GB2312：1980年，6763 个汉字（缺点：无法处理部分罕见字和繁体字）
GBK：21886 个汉字，ASCII 字符使用一个字节表示，汉字使用两个字节表示。（缺点：通用性差）
Unicode 字符集：世界通用码（缺点：空间效率不是最优，没考虑码率）
UTF-8：变长编码，国际规范，使用 1 到 4 字节来表示一个字符，根据字符的复杂性而变。ASCII 字符只需 1 字节，拉丁字母和希腊字母需要 2 字节，常用的中文字符需要 3 字节，其他的一些生僻字符需要 4 字节。
Python 和 C++ 中的舍入问题
在 Python 和 C++ 中，**int 强制转换（或构造函数）采用的是“截断取整”（Truncate），即直接丢弃小数部分，保留整数部分，不进行四舍五入**，向0舍入。
Python 中的 int() 强制转换
行为：直接截断小数部分（向零取整）。
示例：12print(int(3.7))# 输出: 3（直接丢弃 0.7）print(int(-2.9))# 输出: -2（直接丢弃 -0.9，不是 -3！）
关键点：
对正数相当于向下取整（floor），但对负数相当于向上取整（ceil），本质是向零靠近。
与 math.trunc() 行为完全一致：12import mathprint(math.trunc(3.5))
对比总结cmath库
方法
Python
C++
向下取整
math.floor(x)
std::floor(x)
向上取整
math.ceil(x)
std::ceil(x)
四舍五入
round(x)
std::round(x)
截断取整
math.trunc(x)或int(x)
std::trunc(x)
Python的rou ...
哈希冲突
哈希冲突（Hash Collision）是指不同的键（key）通过哈希函数计算后得到相同的哈希值（即相同的存储位置）。解决哈希冲突的方法主要有以下几种，每种方法各有优缺点，适用于不同场景：
1. 开放寻址法（Open Addressing）核心思想：如果目标位置已被占用，就按照某种规则（探测序列）寻找下一个空闲位置。常见探测方式：
线性探测（Linear Probing）
冲突时，顺序检查下一个位置（如 h(key)+1, h(key)+2, ...）。
缺点：容易导致“聚集”（Clustering），即连续占用位置，降低查找效率。
平方探测（Quadratic Probing）
冲突时，按平方步长探测（如 h(key)+1², h(key)+2², ...）。
减少聚集问题，但可能无法遍历所有位置（需保证表大小为质数）。
双重哈希（Double Hashing）
使用第二个哈希函数计算步长（如 h1(key) + i*h2(key)）。
探测序列更分散，冲突概率低，但计算成本略高。
优点：无需额外存储空间（如链表），适合数据量小、装载因子（load factor）低的场景。缺点 ...
红黑树：自平衡的二叉搜索树
红黑树（Red-Black Tree）详解红黑树是一种自平衡的二叉搜索树（BST），它通过特定的规则确保树的高度始终保持在 (O(\log n))，从而保证查找、插入、删除等操作的最坏时间复杂度为 (O(\log n))。它是计算机科学中最重要的数据结构之一，广泛应用于各类高效的数据存储和检索场景（如C++ std::map、Java TreeMap、Linux内核调度器等）。
平衡反转二叉树 ≠ 红黑树. 平衡反转二叉树（如 AVL树）和红黑树（Red-Black Tree）都是自平衡二叉搜索树（BST），但它们采用不同的平衡策略，适用于不同场景。
1. 红黑树的五大性质红黑树通过以下规则维持平衡性：
节点是红色或黑色。
根节点是黑色。
所有叶子节点（NIL节点，空节点）是黑色。
红色节点的子节点必须是黑色（即不能有两个连续的红色节点）。
从任意节点到其所有叶子节点的路径上，黑色节点的数量相同（称为“黑高”一致性）。
📌 为什么这些规则能保证平衡？
规则4和5确保：最长路径（红黑交替）不超过最短路径（全黑）的两倍，避免极端不平衡。
树高被约束为 (O(\log n))。
...
抽样方法
渐进抽样
渐进抽样是一种动态抽样方法，它通过逐步增加样本量，直到达到所需的精度或稳定性。
适用于样本容量难以预先确定的情况，因为它允许根据数据的实际情况动态调整样本量。
A. 有放回的简单随机抽样
B. 无放回的简单随机抽样：
C. 分层抽样：